פתרון א. כיוון שהכדור מוליך, כל המטענים החשמליים יתרכזו על שפתו. לפי חוק גאוס: (כמו במטען נקודתי) כצפוי (שדה חשמלי בתוך מוליך תמיד מתאפס).

Transcript

1 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 תרגיל כיתה מס' 4- מוליכים, הארקה ושיטת הדמויות. מוליכים מוליכים הם חומרים שבהם מטענים חשמליים (אלקטרונים) רשאים לנוע בחופשיות. מתוקף הגדרה זו, ברור כי לא יתכן שבמוליך חשמלי (הנמצא בשיווי משקל) יהיה הפרש פוטנציאלים. הסבר על דרך השלילה- אם היה קיים במוליך הפרש פוטנציאלים, המטענים היו זזים בו (אלקטרונים ישאפו תמיד להגיע מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה). אם אלקטרונים יגיעו לאזור שהיה בפוטנציאל גבוה, הפוטנציאל שם ירד. בסופו של דבר, כשהמוליך מצוי בשיווי משקל, הפוטנציאל עליו הוא קבוע. מכך נובעת תוצאה נוספת- השדה החשמלי בתוך מוליך מתאפס (שדה שאינו מתאפס יוצר הפרש פוטנציאלים והפרש פוטנציאלים אינו קיים במוליך). מסקנה: בהסתמך על חוק גאוס ועל כך שהשדה בתוך מוליך חייב להתאפס, נסיק שהמטענים החשמליים בתוך מוליך מתאפסים. כלומר- במוליך טעון, כל המטען יהיה מרוכז על השפה ובתוך המוליך לא יהיה מטען כלל. שאלה 1 - פוטנציאל של כדור מוליך כדור מוליך ברדיוס R טעון במטען כולל. א. חשבו את הפוטנציאל בתוך הכדור. ב. חשבו את האנרגיה הפוטנציאלית של הכדור E ϕ const פתרון א. כיוון שהכדור מוליך, כל המטענים החשמליים יתרכזו על שפתו. לפי חוק גאוס: מחוץ לכדור- E π E 4π 4 (כמו במטען נקודתי) π π 4 E 4 E בתוך הכדור- כצפוי (שדה חשמלי בתוך מוליך תמיד מתאפס). R R ϕ E R כלומר- צריך להשקיע עבודה כדי להגיע לשפת הכדור. ברגע שמגיעים לשפת הכדור, ניתן לנוע לכל נקודה בכדור מבלי להשקיע עבודה. ב. נשחזר את החישוב מהשיעור הקודם עבור כדור טעון (בשינוי קל- הפעם השדה בתוך הכדור מתאפס): מחוץ לכדור: 4π π E π E ˆ 4π 4 4 ( ) 1 -

2 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה π 8π 8π U E V E V + E V R 1 4π 8π + R π 8π R R R in out, R A R רחוקים מאוד זה מזה R1 R שאלה - חיבור מוליכים שני כדורים מוליכים, האחד ברדיוס א. ב. והשני ברדיוס ומחוברים באמצעות תייל מוליך. טוענים את הכדור הראשון במטען. מה יהיה המטען על כל אחד מהכדורים בשיווי משקל? האם האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת בשווי משקל שווה לאנרגיה האלקסרוסטטית בתחילת התהליך? פתרון: א. כיוון שהכדורים מוליכים ומחוברים, הפוטנציאל עליהם חייב להיות שווה. נעזר בביטוי לפוטנציאל שקיבלנו בשאלה הקודמת ונסיק: 1 1 A R R R AR A 1 + 1( 1 + A) 1, בסה"כ יש לנו מטען. לכן 1+ A 1+ A ב. לא, המטענים במוליכים זזו כדי להקטין את האנרגיה האצורה במערכת. ניתן לראות זאת גם ע"י חישוב: במצב ההתחלתי היה רק כדור אחד טעון במטען U R 1 A ( + ) 1 U R לכן (נעזר בתוצאה השאלה 1 ב): במצב הסופי, היו שני כדורים טעונים. A+ 1 הכדור הראשון, ברדיוס R טעון ב והאנרגיה שלו: U A R 1 A ( + ) A הכדור השני, ברדיוס AR טעון ב A+ 1 והאנרגיה שלו: A 1+ A U1+ U + < R 1 A R 1 A 1 A R ( + ) ( + ) R ( + ) האנרגיה הכוללת בסוף: כלומר, האנרגיה של המערכת קטנה. -

3 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 הארקה הארקה היא חיבור מוליך לקרקע. כאשר מאריקים מוליך, הפוטנציאל עליו משתווה לפוטנציאל של כדור הארץ. ניתן להתיחס להארקה כאל הורדת האילוץ של שימור מטען במערכת. גוף מוארק 1 יכול לשנות את מטענו בחופשיות ולהגיע למצב של אנרגיה מינימלית. האם ההארקה גורמת להתאפסות המטען של המוליך המוארק? לפעמים כן ולפעמים לא. דוגמא למצב בו המטען מתאפס- בשאלה עסקנו בחיבור של שני כדורים מוליכים. נניח שהכדור השני הוא כדור הארץ. במקרה כזה, A ונקבל: 1 A 1, כל 1+ A 1+ A המטען עבר מהכדור הטעון לכדוה"א. מבחינתנו, המטען "נעלם" משום שכדור הארץ גדול מאוד וגם כשטוענים אותו צפיפות המטען עליו כמעט מתאפסת ולא נרגיש בה. מתי המטען על מוליך מוארק לא מתאפס? כאשר הפוטנציאל אינו פרופורציוני למטען על המוליך. בדוגמא שפתרנו קודם, התאפסות הפוטנציאל על המוליך גרמה להתאפסות המטען. לעומת זאת, אם בסביבת המוליך היו מטענים נוספים שמשפיעים על הפוטנציאל שלו, המטען לא היה חייב להתאפס. לעתים, הארקה יכולה לגרום אפילו להצטברות של מטענים על מוליך (נראה דוגמאות לכך בהמשך השיעור בשאלה 3 וכשנעסוק בשיטת הדמויות). שאלה 3- גלילים מוארקים נתונות שתי קליפות גליליות אינסופיות בעלות רדיוסים a ו.(>a) הקליפה הפנימית מוליכה ומוארקת. הקליפה החיצונית מבודדת וטעונה בצפיפות מטען אורכית. λ חשבו את צפיפות המטען על הגליל המוארק ואת השדה החשמלי במרחב. a 1 הערה: כמות האנרגיה המושקעת בטעינת כדוה"א זניחה ) U R נתייחס לשינויי האנרגיה של כדוה"א בבואנו לחשב אנרגיה של מערכת מוארקת. 3 - כאשר R הוא רדיוס כדוה"א). לכן, לא

4 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 פתרון: המערכת שואפת להגיע למצב של מינימום אנרגיה. מצב זה מתקבל כאשר השדה מחוץ לגלילים מתאפס. לכן, ההארקה תטען את הגליל הקטן בצפיפות מטען שלילית: λ. ניתן לפתור את התרגיל גם בדרך יותר מפורטת: בגלל הסימטריה של הבעיה, ברור שלגליל הפנימי חייבת להיות צפיפות מטען אחידה. נקרא לה נשתמש בחוק גאוס כדי למצוא את השדה החשמלי מחוץ לגליל טעון בצפיפות λ (נבנה מעטפת λ. Φ 4πin πle 4π λl E גאוסית באורך L וברדיוס ): < a λ E( ) a< < ( λ + λ) > U L 8πL 8πL 8π.λ אם כך, השדה במרחב הוא : האנרגיה ליחידת אורך האצורה בגליל היא: E V E V E V a 1 8 πλ ln 8 π( λ λ ) ln a ( λ + λ) 1 λ 1 π π 8π + 8π + + 8π in out כלומר, λ λ בכל מקרה אחר- האנרגיה (ליחידת אורך) האצורה במערכת היא אינסופית. הערה: אם בוחרים את האינסוף בתור רפרנס, מקבלים שהפוטנציאל על הגליל הפנימי אינו אפס. זה לא אמור להטריד אותנו, משום משמעות ההארקה היא רק שהפוטנציאל של הגליל הפנימי משתווה לפוטנציאל קבוע של כדור הארץ (לאו דווקא לפוטנציאל של האינסוף). למשל, בתרגיל זה, ניתן לבחור את הראשית בתור נקודת רפרנס ואז נקבל שהפוטנציאל על הגליל הפנימי מתאפס. באופן כללי, מומלץ להתיחס להארקה בתור חיבור למאגר גדול מאוד של מטענים, כך שניתן לשנות את צפיפות המטען על הגוף המוארק לקבלת אנרגיה מינימלית במערכת כולה. 4 -

5 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 שיטת הדמויות כאשר ממקמים מטענים בסביבת מוליכים (משטחים שווי פוטנציאל), מושרה מטען על המוליכים. קשה לנו לחשב את צפיפות המטען המושרה על המוליכים ולכן מסובך לחשב שדה ופוטנציאל בעזרת הכלים המוכרים לנו. שיטת הדמויות נועדה לסייע לנו לטפל במערכת שעבורה נתונים לנו תנאי שפה (לדוגמא- התאפסות הפוטנציאל על לוח/ כדור) על ידי הפיכתה למערכת פשוטה ומוכרת יותר. איך השיטה עובדת? נניח שיש לנו משטח סגור S שבתוכו צפיפות מטען מסוימת ρ וידועים לנו תנאי השפה (הפוטנציאל) על המשטח. כדי למצוא את השדה/ הפוטנציאל בתוך משטח S, ניתן לפתור את משוואת פואסון ϕ 4πρ עם תנאי השפה הנתונים. הבעיה היא שפתרון כזה עשוי להיות כואב מאוד. כדי לפשט את הבעיה, נזכור תוצאה של משפט הקיום והיחידות: צפיפות המטען ρ בתוך S ותנאי השפה על המשטח S קובעים פתרון יחיד לבעיה האלקסרוסטטית. לכן, מותר לנו לשנות כרצוננו את צפיפות המטען ρ מחוץ למשטח S מבלי לחשוש שנפגע בפתרון. בפרט, מומלץ לנסות ולמצוא צפיפות מטען ρ תנאי השפה הנתונים. ל ρ כזו נקרא צפיפות מטען דמות. שתיצור יחד עם ρ את לאחר שמוצאים או מנחשים את מטעני הדמות מתוך הסימטריה של הבעיה, ניתן לפתור את הבעיה האלקטרוסטטית בתוך משטח S בקלות- פשוט מוצאים את השדה ו/או הפוטנציאל שנוצרים כתוצאה מ. ρ, ρ כך נחסכת מאתנו המשימה הכואבת של פתרון משוואת פואסון עם תנאי שפה נתונים. הערה: יש להקפיד על כך שמטעני הדמות שאנו בוחרים למקם יהיו מחוץ למשטח הסגור שבתוכו אנו מחפשים פתרון. אם נשנה את צפיפות המטען בתחום שבו אנו מנסים למצוא שדה/ פוטנציאל, נקבל תוצאות שגויות. כדי לפתור את הבעיה האלקטרוסטטית בכמה תחומים במרחב, יש לחזור על התהליך לכמה משטחים כאשר בכל פעם ממקמים מטעני דמות רק מחוץ למשטח הרלוונטי. y שאלה 4- שיטת הדמויות במישור נתון מישור מוארק במישור Y-Z ומטען נקודתי הממוקם ב( a,, ). מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. פתרון: - (-a,,) (a,,) x משטח אינסופי נחשב משטח סגור שנסגר באינסוף. 5 -

6 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 ראשית, נמצא את השדה בחצי הימני של המרחב. לשם כך, נחפש מטען דמות (אותו נמקם בחצי השמאלי של המרחב) שיאפס לנו את הפוטנציאל על הלוח המוארק. ניחוש: מטען כזה יכול להיות מטען בגודל - שממוקם בנקודה (,,a-). נצדיק את הניחוש באמצעות חישוב הפוטנציאל בנקודה כלשהי על הלוח המוארק: (,, ϕ y z) a + y + z ( a) y z ( ) אחרי שמיקמנו מטען דמות בהצלחה, השדה נסיק שהשדה בחצי הימני של המרחב הוא: ( x a y z) (( x a) y z ) ( x a y z) (( x a) y z ),, +,, E( x>, y, z) החצי השמאלי של המרחב הוא אזור בו אין צפיפות מטען כלל והפוטנציאל על השפה יתאפס. לכן, מבחינת האזור השמאלי הבעיה שקולה למקרה בו אין מטענים כלל והשדה שם יתאפס. שאלה 5- שיטת הדמויות במישורים נתונים שני לוחות אינסופיים מוארקים וניצבים. הלוח הראשון במישור X-Z והלוח השני במישור כאשר.a,> (a,) מוצב בנקודה q מטען נקודתי.Z-Y א. מצאו מטעני דמות לבעיה ב. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב ג. חשבו את צפיפות המטען המושרית על כל לוח ד. חשבו את המטען הכולל שמושרה על כל אחד מהלוחות. פתרון: א. y -q (-a,) +q (a,) x +q (-a,-) -q (a,-) 6 -

7 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 ב. בתחומים >x ו/או >y השדה יתאפס. בתחום x,y> נרגיש בשדה שיוצרים המטען האמיתי ושלושת מטעני הדמות: q( ( x a) xˆ + ( y ) yˆ + zzˆ ) q( ( x a) xˆ + ( y+ ) yˆ + zzˆ ) ( >, >, ) + ( x a) + ( y ) + z ( x a) + ( y+ ) + z q( ( x+ a) xˆ + ( y ) yˆ + zzˆ ) q( ( x+ a) xˆ + ( y+ ) yˆ + zzˆ ) E x y z + + ( x+ a) + ( y ) + z ( x+ a) + ( y+ ) + z ג. מחשב את צפיפות המטען על הלוח שמוצב במישור.X-Z כפי שראיתם בהרצאות, כאשר עוברים משטח הטעון בצפיפות מטען משטחית σ, השדה בכיוון הניצב למשטח קופץ ב : 4πσ E yˆ. lim ידוע (מהסעיף הקודם) שעבור y שלילי השדה מתאפס E yˆ 4πσ ε ( ) ε ( y+ ε y ε) yחיובי: ( ) ˆ ˆ + q y q + y Ey( x>, y, z) + ( x a) + + z ( x a) + + z q( ) yˆ q( + ) yˆ + + ( x+ a) + + z ( x+ a) + + z + ועבור 1 1 q ( x+ a) + + z ( x a) + + z ( E yˆ E yˆ y+ ε y ε) lim 4πσ כעת, נמצא את σ: σ ( x, z) q 4π ( x+ a) + + z ( x a) + + z באופן דומה, ניתן למצוא את צפיפות המטען על הלוח שבמישור.Y-Z 7 -

8 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 ד. נמצא את המטען הכולל על הלוח שבמישור.X-Z ידועה לנו צפיפות המטען מהסעיף הקודם, לכן כל שנותר לנו הוא לחשב את האינטגרל המשטחי עליה. שימו לב: רק החלק <x של הלוח טעון. q 1 1 x σ( x, z) z x z π ( x+ a) + + z ( x a) + + z q z z x π ( ( x+ a) + ) ( x+ a) + + z (( x a) + ) ( x a) + + z q 1 1 x π ( ( x+ a) + ) ( ) + ( x a ) x q 1 x+ a x a q actan actan actan π π a x z z q a. actan π באופן דומה, מסיקים שהמטען המושרה על הלוח שממוקם במישור Y-Z הוא ניתן לראות שהמטען הכולל על שני הלוחות יחד הוא q-: tot q q a q π actan actan actan + actan q π a π π a a שאלה 6- שיטת הדמויות בכדור מטען נקודתי q+ נמצא במרחק ממרכזה של קליפה כדורית ומוארקת בעלת רדיוס.R> מצאו גודל ומקום עבור מטען דמות 'q- שיחד עם q יאפס את הפוטנציאל על הקליפה א. הכדורית. על פי שיטת הדמויות, מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב בבעיה המקורית. ב. מצאו את צפיפות המטען המושרית על הכדור. ג. מהו המטען הכולל המושרה על הכדור? ד. מהו הכוח הפועל על מטען q? ה. מהי האנרגיה הדרושה על מנת להרחיק את מטען q לאינסוף? ו. 8 -

9 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 פתרון: -q' q L R z א. הבעיה סימטרית לסיבובים סביב ציר z. כדי ש 'q- לא ישבור את הסימטריה, חייבים למקם אותו על ציר z. נניח ש' q - ממוקם בנקודה (L,,) ונמצא את הפוטנציאל שיוצרים q ו' q - בנקודה. ϕ ידוע שהקליפה ( x, y, z) q + q x + y + z + + ( ) x y ( z L) כלשהי במרחב: הכדורית מוארקת. כלומר, בנקודות x + y + z R הפוטנציאל אמור להתאפס: ( ) ( ) ( ) x y ( z L) ( x y ( z L) ) x y ( z ) q q q x + y + z + + q q q q q x + y 1 + z 1 Lz L z+ q q q q q q q R z 1 + z 1 Lz q q q q L z+ q q q q. R 1 Lz L z+ q q q כלומר, מתקיים כדי שהביטוי האחרון יהיה נכון עבור כל z על פני הקליפה נדרוש שהמקדמים של z יתאפסו. קבלנו תלות בין גודל מטען הדמות למקומו. כיוון שגם q q L L q q המקדמים שאינם תלויים בz אמורים להתאפס: q R 1 L q q R q q q + q q q q + q q 1. q Rq, L R בסה"כ קיבלנו, 9 -

10 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 ב. מטען הדמות q איננו מטען אמיתי בבעיה. לכן, כשנחשב את השדה בתוך הקליפה המוארקת לא נצטרך להתחשב בו. מטען הדמות יעזור לנו בבואנו לחשב את השדה מחוץ לקליפה. עבור כל נקודה הנמצאת מחוץ לקליפה, נוכל להניח כי פתרון בעיית המטענים הנקודתיים שקול לפתרון הבעיה המקורית (זה נובע מתוך יחידות הפתרון של משוואת פואסון). כיוון שהקליפה הכדורית מוליכה, ידוע כי השדה החשמלי בתוכה מתאפס. ידוע לנו (מהסעיף הקודם) שהפוטנציאל בכל נקודה מחוץ לכדור הוא. ϕ ( x, y, z) q + q x + y + z + + ( ) x y ( z L) נעבור לקואורדינטות כדוריות (יותר טבעיות בבעיה הנוכחית, וכן יאפשרו לנו לבדוק את עצמנו x + y z.φˆ ϕ + z (, θ, φ) q ˆ x ˆ q + θ + y + + ϕ ˆ 1 ϕ E ϕ ˆ + θ + ˆ φ θ ( z ) + z + בהמשך). q q + L L E ןבקואורדינטות כדוריות: ϕ ידוע כי ( ) + 3 ( + L L) sinθ q 1 sin q ϕ θ φ L Lsinθ ( ) + 3 ( + L L) ˆ φ הערה: בזכות הסימטריה של הבעיה, הגיוני שאין תלות ב φ ואין רכיב שדה בכוון ג. כפי שראיתם בהרצאות, כאשר עוברים משטח הטעון בצפיפות מטען משטחית σ, השדה קופץ. lime ˆ E ˆ ב 4 : 4πσ ε ( ) πσ R+ ε R ε בתוך הקליפה (עבור ), R ε השדה מתאפס. מחשב את השדה על הצד החיצוני של הקליפה E ˆ R+ ε 4πσ 1 σ E ˆ 4π R+ ε 1 q 4π R q ונשווה ל : 4πσ R L ( ) ( ) R + R 3 R + L RL 3 ניתן לראות שהתפלגות המטען תלויה בזווית θ. 1 -

11 פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 ד. המטען הכולל המושרה על הקליפה יהיה שווה ל q - (ניתן להסיק זאת מחוק גאוס- אם הקליפה יוצרת שדה כמו זה שיוצר q אז מטעניהם שווים). אם רוצים, אפשר גם לפתור את האינטגרל המשטחי על הקליפה לקבלת המטען הכולל. F. ניתן למצוא את qq ה. הכוח הפועל על מטען q הוא הכוח שמפעיל עליו q : ˆ הכוח גם ע"י שימוש בשדה שכבר מצאנו: F q ( L) (,, ) qe(, ) qe θ סיכום: מוליך הוא גוף שווה פוטנציאל, השדה בתוכו מתאפס והמטען מצטבר על שפת המוליך. כאשר מאריקים מוליך, הפוטנציאל עליו מתאפס. שיטת הדמויות היא שיטה לפיה ניתן לפתור בעיות באלקטרוסטטיקה ע"י מיקום מטענים "וירטואלים" שנותנים לנו את תנאי השפה הנכונים לבעיה האמיתית. שלבים לפתרון בעיות באמצעות שיטת הדמויות: בוחרים איזור המוגבל על ידי משטח סגור שבו מעוניינים לפתור את הבעיה מחליפים את התפלגות המטען מחוץ לאזור שבחרנו במטעני דמות שיצרו את תנאי השפה הנתונים. מידיעת צפיפות המטען (בתוך ומחוץ למשטח), מוצאים את השדה ו/או הפוטנציאל בתוך המשטח. במקרה הצורך, חוזרים על 1-3 עבור משטחים נוספים. 11 -